Question

9．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρcosθ-3=0．點P是曲線C₁上的動點．
（1）求點P到曲線C₂的距離的最大值；
（2）若曲線C₃：θ=$\frac{π}{4}$交曲線C₁于A，B兩點，求△ABC₁的面積．

Answer 1

分析 （1）求得C₁的標準方程，及曲線C₂的標準方程，則圓心C₁到x=3距離d，點P到曲線C₂的距離的最大值d_max=R+d=6；
（2）將直線l的方程代入C₁的方程，求得A和B點坐標，求得丨AB丨，利用點到直線的距離公式，求得C₁到AB的距離d，即可求得△ABC₁的面積．

解答 解（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）．整理得：（x+2）²+（y+1）²=1
曲線C₂：ρcosθ-3=0，則x=3．
則圓心C₁到x=3距離d，d=2+3=5，
點P到曲線C₂的距離的最大值d_max=R+d=6；
∴點P到曲線C₂的距離的最大值6；
（2）若曲線C₃：θ=$\frac{π}{4}$，即y=x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{（x+2）^{2}+（y+1）^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
丨AB丨=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（-1+2）}$=$\sqrt{2}$
∴C₁到AB的距離d=$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則△ABC₁的面積S，S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴△ABC₁的面積$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉化，直線與的圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．