【題目】已知定點，是直線：上一動點，過作的垂線與線段的垂直平分線交于點.的軌跡記為.

（1）求的方程；

（2）直線（為坐標原點）與交于另一點，過作垂線與交于，直線是否過平面內(nèi)一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

【答案】(1) (2) 過定點.理由見解析

【解析】

（1）利用拋物線的定義可求得的軌跡的方程；

（2）設(shè)，根據(jù)條件求出直線的方程，再根據(jù)對稱性知，若直線過定點，該定點必在軸上，從而令直線方程中的，計算是否為定值，進而判斷直線是否過定點.

（1）由已知得到直線的距離與到定點的距離相等，

所以點的軌跡為拋物線，則，所以的方程.

（2）設(shè)，則：，與聯(lián)立得.

又，得直線：，

由對稱性知若過定點，則定點一定在軸上，令，得

，

所以過定點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓中心在坐標原點，焦點在軸上，且過，直線與橢圓交于,兩點（,兩點不是左右頂點），若直線的斜率為時，弦的中點在直線上.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）若以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點，則直線是否經(jīng)過定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資額成正比（如圖1），產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)

（注：利潤與投資額的單位均為萬元）

(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤、表示為投資額的函數(shù)；

(2)該團隊已籌集到10 萬元資金，并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問:當產(chǎn)品的投資額為多少萬元時，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利潤為多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，焦距為，直線：與橢圓相交于、兩點，關(guān)于直線的對稱點在橢圓上．斜率為的直線與線段相交于點，與橢圓相交于、兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求四邊形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年，在青島海水稻研究發(fā)展宗鑫的試驗基地，我國奇數(shù)團隊培養(yǎng)處的最新一批海水稻活動豐收，由原畝產(chǎn)300公斤，條到最高620公斤，弦長測得其海水鹽分濃度月為。

（1）對四種品種水稻隨機抽取部分數(shù)據(jù)，獲得如下頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，說明這四種品種水稻中，哪一種平均產(chǎn)量最高，哪一種穩(wěn)定（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）對鹽堿度與抗病害的情況差得如右圖和的列聯(lián)表的部分數(shù)據(jù)，填寫列表，并以此說明是否有的把握說明鹽堿度對抗病蟲害有影響。

附表及公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩個正數(shù)a，b滿足a+b=1

（1）求證：；

（2）若不等式對任意正數(shù)a，b都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地級市共有200000中小學(xué)生，其中有7%學(xué)生在2017年享受了“國家精準扶貧”政策，在享受“國家精準扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為5:3:2，為進一步幫助這些學(xué)生，當?shù)厥姓O(shè)立“專項教育基金”，對這三個等次的困難學(xué)生每年每人分別補助1000元、1500元、2000元。經(jīng)濟學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加，一般困難的學(xué)生中有會脫貧，脫貧后將不再享受“精準扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有轉(zhuǎn)為很困難�，F(xiàn)統(tǒng)計了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中統(tǒng)計量的值，其中年份取13時代表2013年， 與（萬元）近似滿足關(guān)系式，其中為常數(shù)。（2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變）

其中，

（Ⅰ）估計該市2018年人均可支配年收入；

（Ⅱ）求該市2018年的“專項教育基金”的財政預(yù)算大約為多少？

附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線方程 的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是異面直線a、b的公垂線，長度為2，點C、D分別在直線a和b上，且CD長為4，過線段AB的中點M作平面α，使得AB⊥平面α，線段CD與平面α交點為N．

（1）求異面直線AB和CD所成的角的大小；

（2）求證：直線a∥α且CN＝DN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知非空集合滿足:若,則必有,問這樣的集合S有______個;請將該問題推廣到一般情況.

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