Question

【題目】如圖，AB是異面直線a、b的公垂線，長度為2，點C、D分別在直線a和b上，且CD長為4，過線段AB的中點M作平面α，使得AB⊥平面α，線段CD與平面α交點為N．

（1）求異面直線AB和CD所成的角的大小；

（2）求證：直線a∥α且CN＝DN．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）見解析

【解析】

（1）平移直線得到異面直線所成角，結(jié)合直角三角形知識可求;

（2）利用線面平行的性質(zhì)和中位線性質(zhì)可證.

（1）過點O作AB的平行線CO，且使CO＝AB，連結(jié)BO，DO，

則∠DCO是異面直線AB和CD所成角，∵CO＝AB＝2，CD＝4，∴∠DCO＝60°，

∴異面直線AB和CD所成的角的大小為60°．

（2）設(shè)BC∩α＝P，連結(jié)MN、MP、PN，∵AB是異面直線a、b的公垂線，AB⊥平面α，

∴AC⊥AB，MP⊥AB，∵MP平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，

∴MP∥AC，∵MPα，ACα，∴直線a∥α．同理可證b∥α，∴PN∥BD，

∵MP∥AC，M是AB中點，∴P是BC中點，∴N是CD中點，∴CN＝DN．