Question

9．已知橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=$\frac{1}{2}$，圓x²+y²-2$\sqrt{3}$y-6=0的圓心E恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于不同的A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為G．
①求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
②證明：直線AG與x軸相交于一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由已知橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得橢圓的短半軸，結(jié)合隱含條件得答案；
（2）①設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，把$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$代入根與系數(shù)關(guān)系化為含有k的代數(shù)式，由k的范圍求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
②求出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線AG的方程，求得與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入①的根與系數(shù)關(guān)系得答案．

解答 （1）解：由題意知，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$
∴c=1，a=2．
∴故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
代入橢圓方程，整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4•（3+4k²）（64k²-12）＞0，得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$①，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²=25-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[-4，$\frac{13}{4}$）；
②證明：∵B，G關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x₂，-y₂），
直線AG的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0，得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$．
把①式代入得x=1．
∴直線與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．