Question

7．若關(guān)于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}-x+1}$＞0的解集是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 先判斷分母恒為正，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵x²-x+1＞0恒成立，
∴不等式式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}-x+1}$＞0等價(jià)為（k-1）x²+（k-1）x+2＞0恒成立，
若k=1，則不等式等價(jià)為2＞0，滿足條件．
若k≠1，則要使不等式恒成立，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△=（k-1）^{2}-8（k-1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{（k-1）（k-9）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{1＜k＜9}\end{array}\right.$，
解得1＜k＜9，
綜上1≤k＜9，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，9）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵．