Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=x²-ax，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是減少的，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍．
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是增加的，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{x}$-a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可求得結(jié)論；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是增加的，確定a的范圍，確定f（x）的單調(diào)性，從而可得f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴$\frac{1}{x}$-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）．
∴a≥1．
g（x）=x²-ax的對(duì)稱軸為x=$-\frac{-a}{2}$=$\frac{a}{2}$，
若g（x）在（1，+∞）上有最小值，
則$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2．
故a的取值范圍為：a＞2．
（2）g（x）=x²-ax的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，若g（x）在（-1，+∞）上是增加的，
則$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2．
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0，
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查的是可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．