Question

15．如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE是等邊三角形，AE⊥BE，M為CE上一點，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）若AE=$\sqrt{3}$，BE=1，求三棱錐C-ABE的體積．

Answer 1

分析 （I）由BM⊥平面ACE得BM⊥AE，結(jié)合AE⊥BE得出AE⊥平面BCE，故而AE⊥BC；
（II）V_C-ABE=V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AE$．

解答 證明：（Ⅰ）∵BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴BM⊥AE，又AE⊥BE，BM∩BE=B，BM、BE?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE，又BC?平面BCE，
∴AE⊥BC．
（Ⅱ）因為△BCE是等邊三角形，BE=1，
∴S_△BCE=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，
∴${V_{C-ABE}}={V_{A-BCE}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．