Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝cln x＋x²＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1為f(x)的極值點(diǎn)．

(1)若x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用c表示)；

(2)若f(x)＝0恰有兩解，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

解：f′(x)＝＋x＋b＝，又f′(1)＝0，

則b＋c＋1＝0，

所以f′(x)＝且c≠1，

(1)因?yàn)?i>x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)，所以c>1.

令f′(x)>0，得0<x<1或x>c；令f′(x)<0，得1<x<c.

所以f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)，(c，＋∞)；遞減區(qū)間為(1，c)．

(2)①若c<0，則f(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增．

若f(x)＝0恰有兩解，則f(1)<0，即＋b<0，所以－<c<0.

②若0<c<1，則f(x)_極大值＝f(c)＝cln c＋c²＋bc，f(x)_極小值＝f(1)＝＋b.因?yàn)?i>b＝－1－c，

則f(x)_極大值＝cln c＋＋c(－1－c)＝cln c－c－<0，

f(x)_極小值＝－－c，從而f(x)＝0只有一解；

③若c>1，則f(x)_極大值＝－－c<0，

從而f(x)_極小值＝cln c＋＋c(－1－c)

＝cln c－c－<0，

則f(x)＝0只有一解．

綜上，使f(x)＝0恰有兩解的c的取值范圍為－<c<0.