Question

已知f（x）=

|2x2-4x|，x∈[0，3] -x，x∈[-1，0)

．
（1）試作函數(shù)f（x）的圖象；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上有解，求a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上恰有兩個(gè)解，試求這兩個(gè)解的和．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意作函數(shù)的圖象，
（2）關(guān)于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上有解即f（x）與y=a+

1

a

的圖象有交點(diǎn)，故0≤a+

1

a

≤6；從而解得，
（3）當(dāng)且公當(dāng)a+

1

a

=2，即a=1時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上恰有兩個(gè)解，從而解出兩個(gè)解即可．

解答： 解：（1）作函數(shù)f（x）的圖象如右圖，
（2）關(guān)于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上有解即
f（x）與y=a+

1

a

的圖象有交點(diǎn)，
故0≤a+

1

a

≤6；
解得，3-2

2

≤a≤3+2

2

；
（3）由題意可得，當(dāng)且公當(dāng)a+

1

a

=2，即a=1時(shí)，
關(guān)于x的方程f（x）=a+

1

a

，在[-1，3]上恰有兩個(gè)解，
即2x²-4x=2或x=1；
解2x²-4x=2得，x=1+

2

；
故這兩個(gè)解的和為2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象的作法及應(yīng)用，屬于中檔題．