Question

已知f（x）=x+

1

x

（1）證明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）求得f（x）=x+

1

x

 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
可得函數(shù)為奇函數(shù)，此函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（2）設(shè)x₂＞x₁＞1，計(jì)算f（x₂）-f（x₁）=[x₂+

1

x2

]-[x₁+

1

x1

]＞0，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）
上單調(diào)性遞增．

解答：解：（1）由于f（x）=x+

1

x

 的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且滿足f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)，故此函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性遞增．
證明：設(shè)x₂＞x₁＞1，由于f（x₂）-f（x₁）=[x₂+

1

x2

]-[x₁+

1

x1

]
=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）•[1-

1

x1•x2

]．
由題設(shè)可得（x₂-x₁）＞0，且1-

1

x1•x2

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．