Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-

3

cosx在點(diǎn)A處的切線為l₁，函數(shù)g（x）=

1

2

x²+lnx在點(diǎn)B處的切線為l₂．若l₁∥l₂，則|

OA

•

OB

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞0，求導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)的值域和基本不等式可得兩直線的斜率k₁=k₂=2，并可得此時(shí)x₂=1，x₁=2kπ+

π

3

，k∈Z，而|

OA

•

OB

|=|x₁•x₂+y₁•y₂|，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞0，
∵f（x）=sinx-

3

cosx，∴f′（x）=cosx+

3

sinx，
∴切線為l₁的斜率k₁=f′（x₁）=cosx₁+

3

sinx₁=2sin（x₁+

π

6

）≤2；
同理可得切線為l₂的斜率k₂=g′（x₂）=x₂+

1

x2

≥2，
又l₁∥l₂，∴k₁=k₂=2，此時(shí)x₂=1，x₁+

π

6

=2kπ+

π

2

，
解得x₁=2kπ+

π

3

，k∈Z，
∴y₁=f（x₁）=sinx₁-

3

cosx₁=0
∴|

OA

•

OB

|=|x₁•x₂+y₁•y₂|=|2kπ+

π

3

+0|=|2kπ+

π

3

|
∴當(dāng)k=0時(shí)，上式取到最小值

π

3

故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的最值，涉及導(dǎo)數(shù)和切線以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．