Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G．設(shè)AB=2AA₁=2a．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為P，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A₁B₁，BB₁上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，則P的最小值為（　　）

• A、

  11

  16

• B、

  3

  4

• C、

  13

  16

• D、

  7

  8

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)幾何槪型的概率公式，結(jié)合基本不等式求出取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為P的最小值，即可求出概率．

解答： 解：根據(jù)幾何槪型的概率公式可知，點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

，
∴若P的最小，則只需幾何體A₁ABFE-D₁DCGH的體積最小，即五邊形A₁ABFE的面積最小，等價(jià)為三角形EFB₁的面積最大，
∵EF=a，
∴B1E2+B1F2=a2，
則S △B1EF=

1

2

B1E•B1F≤

1

4

（B₁E²+B₁F²）=

a2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)B₁F=B₁E時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)五邊形A₁ABFE的面積最小為2a²-

1

4

a²=

7a2

4

，
則取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

=

7 4 a2

2a2

=

7

8

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何槪型的概率計(jì)算，根據(jù)體積槪型結(jié)合基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．