Question

函數f（x）=ax³-bx²+cx的圖象如圖所示，且f（x）在x=x₀與x=1處取得極值，給出下列判斷：
①c＞0；
②f（1）+f（-1）＞0；
③函數y=f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數．
其中正確的判斷是（　　）

• A、①③
• B、②
• C、②③
• D、①②

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求出函數的導數，根據f（x）在x=x₀與x=1處取得極值，求出a，b，c之間的關系，即可得到結論．

解答： 解：∵函數f（x）=ax³-bx²+cx，且f（x）在x=x₀與x=1處取得極值，
∴a＞0，且f′（x）=3ax²-2bx+c，
則x=x₀與x=1是方程f′（x）=3ax²-2bx+c=0的兩個不同的根，
即1+x₀=

2b

3a

，1×x₀=

c

3a

，
則2b=3a（1+x₀），c=3ax₀，
∵由圖象可知x₀＜-1，∴c=3ax₀＜0，故①不正確．
∵f（1）+f（-1）=-2b，且2b=3a（1+x₀）＜0，
∴f（1）+f（-1）=-2b＞0，故②正確．
f′（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-1）（x-x₀）是開口向上，對稱軸為x=-

-2b

2×3a

=

b

3a

＜0
∴函數y=f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，故③正確
故正確的命題是②③，
故選：C

點評：本題主要考查導數研究函數的應用，求出函數的導數，結合二次函數的性質，判斷a，b，c的大小是解決本題的關鍵．