Question

18．已知斜△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，c=1，C=$\frac{π}{3}$，若sinC+sin（A-B）=3sin2B，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$或$\frac{3\sqrt{3}}{28}$．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化簡已知的式子，再對B分類討論，利用余弦定理和三角形的面積公式，求出△ABC的面積．

解答 解：∵C=π-（A+B），sinC+sin（A-B）=3sin2B，
∴sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，
sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=3sin2B，
即2sinAcosB=3sin2B=6sinBcosB，①
當(dāng)B=$\frac{π}{2}$時，cosB=0，則①式成立，
由c=1、C=$\frac{π}{3}$得，a=$\frac{c}{tanC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}ac$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
當(dāng)B≠$\frac{π}{2}$時，cosB≠0，則①式化為sinA=3sinB，
即a=3b，由c=1、C=$\frac{π}{3}$得，c²=a²+b²-2abcosC，
∴$1={9b}^{2}+^{2}-2×3b×b×\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴a=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{3\sqrt{3}}{28}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$或$\frac{3\sqrt{3}}{28}$．

點評 本題考查了正弦、余弦定理，誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式，三角形的面積公式的應(yīng)用，以及計算能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式．