Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a，a_n+1=1+$\frac{1}{a_n}$，若對(duì)任意的自然數(shù)n≥4，恒有$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，則a的取值范圍為（0，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行遞推即可．

解答 解：∵a₁=a，a_n+1=1+$\frac{1}{a_n}$，
∴a₂=1+$\frac{1}{a}$=$\frac{a+1}{a}$，a₃=$\frac{2a+1}{a+1}$，a₄=$\frac{3a+2}{2a+1}$，
要使對(duì)任意的自然數(shù)n≥4，恒有$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，
則只需要$\frac{3}{2}$＜1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＜2，
要即$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，當(dāng)且僅當(dāng)它的前一項(xiàng)a_n-1滿(mǎn)足1＜a_n-1＜2，
顯然只需a₄∈（1，2）時(shí)，都有a_n∈（$\frac{3}{2}$，2），（n≥5）．
∴欲使1＜a₄＜2，則$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，（n≥5），
∵a₄=$\frac{3a+2}{2a+1}$，
∴滿(mǎn)足$\frac{3}{2}$＜$\frac{3a+2}{2a+1}$＜2，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3a+2}{2a+1}＞\frac{3}{2}}\\{\frac{3a+2}{2a+1}＜2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{1}{2}}\\{a＞0或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a＞0，
即a的取值范圍為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，結(jié)合不等式進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．