Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)在（1，f（1））的切線方程
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=3代入函數(shù)解析式并求出導(dǎo)數(shù)，求出f′（1）和f（1），代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和定義域，分a≤0和a＞0討論，分別由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的極值．

解答 解：（I）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=3x-2lnx，則$f′（x）=3-\frac{2}{x}$，
∴f′（1）=3-2=1，且f（1）=3，
∴在（1，3）處的切線方程是：y-3=x-1，即x-y+2=0，…（4分）
（Ⅱ）由題意得，$f′（x）=a-\frac{2}{x}=\frac{ax-2}{x}，x＞0$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）沒有極值．                    …（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得$x=\frac{2}{a}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	$（{0，\frac{2}{a}}）$	$\frac{2}{a}$	$（{\frac{2}{a}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)$x=\frac{2}{a}$時(shí)，f（x）取得極小值$f（\frac{2}{a}）=2-2ln\frac{2}{a}$，
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的極小值為$2-2ln\frac{2}{a}$，沒有極大值． …（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．