Question

若關(guān)于x的方程x³-4x²+5x+2a=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，那么當(dāng)max{x₁，x₂，x₃}取得最大值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=x³-4x²+5x，f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），從而得到x∈（-∞，1]∪[

5

3

，+∞） 時(shí)，f（x）是增函數(shù)，x∈（1，

5

3

）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，由此得到a∈[-2，-

50

27

]．三根中最大的根取得最大值時(shí)，有a=-2，x=1是兩重根，較大根的最大值是2．

解答： 解：令f（x）=x³-4x²+5x，
f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），
令f′（x）=0，解得x₁=

5

3

，x₂=1，
從而有x＞

5

3

或x＜1時(shí)，f′（x）＞0，1＜x＜

5

3

時(shí)，f′（x）＜0，
∴x∈（-∞，1]∪[

5

3

，+∞） 時(shí)，f（x）是增函數(shù)
x∈（1，

5

3

）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
∵f（1）=2，f（

5

3

）=

50

27

＜f（1），
這樣，如果要 f（x）+a=0，即 f（x）=-a有三個(gè)實(shí)根，必有
f（

5

3

）≤f（x）≤f（1）即

50

27

≤-a≤2，
∴-2≤a≤-

50

27

，即a∈[-2，-

50

27

]，
∵f（1）＞f（

5

3

），∴-a=f（1），
三根中最大的根取得最大值，
這時(shí)，有a=-2，x=1是兩重根，可以解出另一根：
x³-4x²+5x-2=0
（x-1）²（x-2）=0
∴較大根的最大值是2，此時(shí)a=-2．
∴max{x₁，x₂，x₃}取得最大值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．