Question

13．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$具有如下性質：當a＞0時，該函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+$\frac{{2}^}{x}$（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數(shù)y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常數(shù) c＞0）奇偶性和定義域內的單調性；
（3）對函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$和y=x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$（常數(shù) a＞0）作出推廣，使的它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究其單調性（只需寫出結論，不必證明）．

Answer 1

分析 （1）由對勾函數(shù)的性質求得函數(shù)y=x+$\frac{{2}^}{x}$（x＞0）的最小值，再由最小值為6列式求得b值；
（2）由偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常數(shù) c＞0）是偶函數(shù)，再由復合函數(shù)的單調性結合該函數(shù)是偶函數(shù)求其單調區(qū)間；
（3）對比（1）（2）可分n為奇數(shù)和偶數(shù)得到函數(shù)y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞0）的單調區(qū)間．

解答 解 （1）由函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$的性質：當a＞0時，該函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)，可得
當x=$\sqrt{{2}^}$時，y=x+$\frac{{2}^}{x}$（x＞0）有最小值為2$\sqrt{{2}^}$，
∴2$\sqrt{{2}^}$=6，得b=2log₂3；
（2）函數(shù)y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常數(shù) c＞0）的定義域為{x|x≠0}，又f（-x）=$（-x）^{2}+\frac{c}{（-x）^{2}}={x}^{2}+\frac{c}{{x}^{2}}$=f（x），
∴函數(shù)y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$（常數(shù) c＞0）為偶函數(shù)，
當x＞0時，由復合函數(shù)的單調性可得y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$在（0，$\root{4}{c}$]上是減函數(shù)，在[$\root{4}{c}$，+∞）上是增函數(shù)，
由函數(shù)為偶函數(shù)，結合偶函數(shù)的性質可得：函數(shù)y=x²+$\frac{c}{{x}^{2}}$在（-∞，-$\root{4}{c}$]，（0，$\root{4}{c}$]上是減函數(shù)，在[-$\root{4}{c}$，0），[$\root{4}{c}$，+∞）上是增函數(shù)；
（3）當n為奇數(shù)，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞0）為奇函數(shù)，在[-$\root{2n}{a}$，0），（0，$\root{2n}{a}$]是減函數(shù)，在[$\root{2n}{a}$，+∞），（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是增函數(shù)；
當n為偶數(shù)，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞o）為偶函數(shù)，在（0，$\root{2n}{a}$]，（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是減函數(shù)，在[-$\root{2n}{a}$，0），[$\root{2n}{a}$，+∞）上是增函數(shù)．
證明：y′=（xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$）′=nx^n-1+a（-n）x^-n-1=$\frac{n{x}^{2n}-an}{{x}^{n+1}}$，
令y′=0，即x²ⁿ=a，解得x=±$\root{2n}{a}$．
當n為奇數(shù)，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞0）為奇函數(shù)，在[-$\root{2n}{a}$，0），（0，$\root{2n}{a}$]是減函數(shù)，在[$\root{2n}{a}$，+∞），（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是增函數(shù)；
當n為偶數(shù)，y=xⁿ+$\frac{a}{{x}^{n}}$（a＞o）為偶函數(shù)，在（0，$\root{2n}{a}$]，（-∞，-$\root{2n}{a}$]上是減函數(shù)，在[-$\root{2n}{a}$，0），[$\root{2n}{a}$，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查對勾函數(shù)的性質，熟記并靈活運用性質求解該類型函數(shù)的值域尤為重要，是中檔題．