Question

(本小題滿分12分)

如圖橢圓的上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B, F為右焦點(diǎn), 過(guò)F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn). 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上。

（1）求橢圓的離心率；

（2）若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：(1) ∵焦點(diǎn)為F(c, 0), AB斜率為, 故CD方程為y=(x－c). 于橢圓聯(lián)立后消去y得2x²－2cx－b²=0. ∵CD的中點(diǎn)為G(), 點(diǎn)E(c, －)在橢圓上,

∴將E(c, －)代入橢圓方程并整理得2c²=a², ∴e =.

(2)由(Ⅰ)知CD的方程為y=(x－c),  b=c, a=c.

與橢圓聯(lián)立消去y得2x²－2cx－c²=0.

∵平行四邊形OCED的面積為S=c|y_C－y_D|=c

=c, ∴c=, a=2, b=. 故橢圓方程為。

考點(diǎn)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：求橢圓的離心率是常見(jiàn)題型，其主要思路是：找出a、b、c的一個(gè)關(guān)系式即可。此題就是根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線CD的方程，代入橢圓方程，進(jìn)而可表示出CD的中點(diǎn)的坐標(biāo)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)可得，代入橢圓方程即可求得a、b和c的關(guān)系式求得離心率e．