Question

5．設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為b_n，數(shù)列{b_n}的前n項之積為c_n，且b_n+c_n=1，則數(shù)列{$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$}的前n項和S_n中大于2016的最小項為第63項．

Answer 1

分析 由題意可得：a₁+a₂+…+a_n+a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=1，可得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{6}$．…，猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．驗證：成立．可得n＜$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，進而得到$\frac{n（n+1）}{2}$＜S_n＜$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，即可得出．

解答 解：由題意可得：a₁+a₂+…+a_n+a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=1，
n=1時，a₁+a₁=1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n=2時，a₁+a₂+a₁•（a₁+a₂）=1，解得a₂=$\frac{1}{6}$．
…，猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
驗證：a₁+a₂+…+a_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
∴a₁+a₂+…+a_n+a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=$1-\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$=1．
∴n＜$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＜S_n＜$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴2016＜S₆₃＜2080，
∴數(shù)列{$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$}的前n項和S_n中大于2016的最小項為第63項．
故答案為：63．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項求和”方法、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了猜想歸納推理能力與計算能力，屬于中檔題．