已知an=數(shù)學(xué)公式n∈N*求證:an<1.

證明:(1)當(dāng)n=1時,a1=<1,不等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1)時,不等式成立,即ak=<1
亦即1+22+32+…+k2<(k+1)k
當(dāng)n=k+1時:ak+1===()k<1.
所以n=k+1時,不等式也成立.
由(1)、(2)知,對一切n∈N*,不等式都成立.
即an<1得證.
分析:首先分析題目已知an=求證:an<1.考慮到可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求解,首先驗證當(dāng)n=1時,不等式成立,再假設(shè)n=k(k≥1)時,不等式成立,推得當(dāng)n=k+1時不等式也成立.即得證.
點評:此題主要考查由數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,數(shù)學(xué)歸納法在高考中屬于重要的考點,應(yīng)用廣泛,需要同學(xué)們靈活掌握.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點,且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標(biāo)原點,已知點M的橫坐標(biāo)為
1
2

(Ⅰ)求證:點M的縱坐標(biāo)為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011;
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的Sn,設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)已知集合Sn={X|X=(x1x2,…,xn),xiN*,i=1,2,…,n} (n≥2).對于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義
AB
=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)
;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A與B之間的距離為d(A,B)=
n
i=1
|ai-bi|

(Ⅰ)當(dāng)n=5時,設(shè)A=(1,2,1,2,a5),B=(2,4,2,1,3).若d(A,B)=7,求a5;
(Ⅱ)(。┳C明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使
AB
BC
,則d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
(ⅱ)設(shè)A,B,C∈Sn,且d(A,B)+d(B,C)=d(A,C).是否一定?λ>0,使
AB
BC
?說明理由;
(Ⅲ)記I=(1,1,…,1)∈Sn.若A,B∈Sn,且d(I,A)=d(I,B)=p,求d(A,B)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點數(shù)學(xué)公式在函數(shù)y=x2+1的圖象上.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=0,bn+1=bn+3an(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(II)若cn=anbncosnπ(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖北省黃岡中學(xué)高三(上)10月月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點在函數(shù)y=x2+1的圖象上.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=0,bn+1=bn+3an(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(II)若cn=anbncosnπ(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省“鄂南高中、華師一附中、黃岡中學(xué)、黃石二中、荊州中學(xué)、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(文科))(解析版) 題型:解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點在函數(shù)y=x2+1的圖象上.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=0,bn+1=bn+3an(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(II)若cn=anbncosnπ(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

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