Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的中心為O，過其右焦點(diǎn)F的直線與兩條漸近線交于A，B，

FA

與

BF

同向，且

FA

⊥

OA

，若|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由勾股定理、|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．

解答： 解：由條件知，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
因?yàn)閨

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
所以|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，
于是tan∠AOB=

4

3

．
因?yàn)?span id="dbuq9to" class="MathJye">

FA

與

BF

同向，所以過F作直線l₁的垂線與雙曲線相交于同一支．
而雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程分別為

x

a

±

y

b

=0，故

2• b a

1-( b a )2

=

4

3

，
解得a=2b，
故雙曲線的離心率e=

c

a

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，確定tan∠AOB=

4

3

，聯(lián)想到對應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．