Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的方程為4ρcosθ-ρsinθ-25=0，曲線W：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線W的普通方程；
（2）若點(diǎn)P在直線l上，Q在曲線W上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)于關(guān)系得出直線l的直角坐標(biāo)方程，使用代入消元法小區(qū)參數(shù)方程中的t得出曲線W的普通方程；
（2）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)（2t，t²-1），代入點(diǎn)到直線的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)?ρcosθ-ρsinθ-25=0，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得4x-y-25=0，
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為4x-y-25=0，
由$W：\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y={t^2}-1\end{array}\right.$消去t得$y=\frac{1}{4}{x^2}-1$．
曲線W的普通方程為$y=\frac{1}{4}{x^2}-1$． 
（2）依題意設(shè)點(diǎn)Q（2t，t²-1），則點(diǎn)Q到直線l的距離為$\frac{{|{8t-{t^2}+1-25}|}}{{\sqrt{{4^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{17}}}{17}|{{t^2}-8t+24}|=\frac{{\sqrt{17}}}{17}|{{{（t-4）}^2}+8}|≥\frac{{8\sqrt{17}}}{17}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)去等號(hào)，所以|PQ|得最小值為$\frac{{8\sqrt{17}}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，距離公式及參數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．