Question

13．已知命題p：方程x²+2ax+1=0有兩個(gè)大于-1的實(shí)數(shù)根，命題q：關(guān)于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集為R，若“p或q”與“￢q”同時(shí)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 判斷出q為假命題，P為真命題，并分別求出q是假命題，p是真命題的a的范圍，取交集即可．

解答 解：p∨q與￢q同時(shí)為真命題，
∵￢q為真命題，∴q為假命題，
∴p為真命題，
命題p：方程x²+2ax+1=0有兩個(gè)大于-1的實(shí)數(shù)根，是真命題，
設(shè)f（x）=x²+2ax+1，對(duì)稱軸為x=-a，
方程有兩個(gè)大于-1的實(shí)數(shù)根，兩根不同時(shí)：
只需$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-4＞0}\\{\frac{-2a-\sqrt{{4a}^{2}-4}}{2}＞-1}\end{array}\right.$，
解得：a＜-1①，
兩根相同時(shí)，a=-1，
綜上：a≤-1；
由q為假命題，即關(guān)于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集為R是假命題，
a=0時(shí)，1＞0恒成立，不符合題意，
a≠0時(shí)，則需△=a²-4a≥0，
解得：a≤0或a≥4，
故q為假時(shí)：a＜0或a≥4②，
綜合①②a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．