是否存在實數(shù)k使方程8x2-6kx+2k+1=0的兩根成為一個直角三角形兩銳角A，B的正弦值？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
分析：由題意可得 A+B=
π
2
，sinA=cosB，由 sin2A+cos2A=1，可得x12+x22=1，再由一元二次方程根與系數(shù)的關系求出 x1+x2 及 x1•x2 的值，從而得到(
3k
4
)2-2×
2k+1
8
=1，解出k的值，再檢驗得出結論．
解答：解：假設存在實數(shù)k，使方程的兩根是一個直角三角形的兩銳角A，B的正弦，
則 A+B=
π
2
，sinA=cosB．∵sin2A+cos2A=1，∴x12+x22=1．
∵x1+x2=
6k
8
=
3k
4
，x1•x2=
2k+1
8
，∴(
3k
4
)2-2×
2k+1
8
=1，即9k2-8k-20=0，∴k=2或-
10
9
．
當k=2時，原方程為8x2-12x+5=0，△＜0，不合題意．
當k=-
10
9
時，原方程為8x2+
20
3
x-
11
9
=0，x1•x2＜0，不合題意．
綜上知，不存在實數(shù)k適合題意．
點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，誘導公式的應用，一元二次方程根與系數(shù)的關系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．
（I） 當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（II）當a≠0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅲ）當a＞3時，在區(qū)間[-1，0]上是否存在實數(shù)k使不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）對任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

附加題：已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
，(其中ω＞0)，且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
6
)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f(kx+
π
12
)(k＞0)在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上單調遞增，求實數(shù)k的取值范圍；
（III）是否存在實數(shù)m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(
π
12
，
π
3
]內僅有一解，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：福建省廈門市翔安一中2012屆高三11月月考數(shù)學理科試題 題型：044

是否存在實數(shù)k使方程8x2－6kx＋2k＋1＝0的兩根成為一個直角三角形兩銳角A，B的正弦值？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

是否存在實數(shù)k使方程8x2-6kx+2k+1=0的兩根成為一個直角三角形兩銳角A，B的正弦值？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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