Question

11．有六本不同的書分給甲乙丙三名同學，按以下條件，各有多少種不同的分法？
（1）每人各得兩本；
（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；
（3）一人一本，一人兩本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另兩人各一本．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分3步進行分析：先從6本書中取出2本給甲，再從剩下的4本書中取出2本給乙，最后把剩下的2本書給丙，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分3步進行分析：先從6本書中取出2本給甲，再從剩下的4本書中取出2本給乙，最后把剩下的3本書給丙，每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分步進行分析：先將6本書分成3組，一組1本、一組2本、一組3本，由組合數(shù)公式計算可得分組方法，再將分好的三組對應(yīng)三個人，進三組進行全排列即可，由分步計數(shù)原理計算可得答案，
（4）根據(jù)題意，分3步進行分析，先選4本分給甲；再從余下的2本中選1本分給乙，剩下的一本分給丙，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（5）根據(jù)題意，將6本書分成4，1，1三組，再分配甲乙丙，由分步計數(shù)原理計算可得答案

解答 解：（1）根據(jù)題意，把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，分3步進行，先從6本書中取出2本給甲，有C₆²種取法，再從剩下的4本書中取出2本給乙，有C₄²種取法，最后把剩下的2本書給丙，有1種情況，則把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，有C₆²×C₄²×1=90種分法；
（2）根據(jù)題意，甲得1本，乙得2本，丙得3本，分3步進行，先從6本書中取出2本給甲，有C₆¹種取法，再從剩下的4本書中取出2本給乙，有C₅²種取法，
最后把剩下的3本書給丙，有1種情況，則把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，有C₆¹×C₅²×1=60種分法；
（3）6本不同的書分給甲、乙、丙三人，1人得1本，1人得2本，1人得3本，先將6本書分成3組，一組1本、一組2本、一組3本，有C₆¹×C₅²×1=60種分組方法，將分好的三組對應(yīng)三個人，有A³₃種情況，則不同的分法有C₆¹×C₅²×C₃³×A³₃=360
（4）先選4本分給甲有C⁴₆種選法；再從余下的2本中選1本分給乙，剩下的一本分給丙，有C¹₂種選法，故共有C⁴₆C¹₂=30種，
（5）有序不均勻分組，有$\frac{{C}_{6}^{4}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$=15種分堆方法，再分配給甲乙丙，故有15A₃³=90種．

點評 本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，正確區(qū)分無序不均勻分組問題．有序不均勻分組問題．無序均勻分組問題．是解好組合問題的一部分；本題考查計算能力，理解能力