Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱(chēng)f（x）為“次有界函數(shù)”，現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=x；②f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$；③f（x）=x²；④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R的奇函數(shù)，且對(duì)一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“次有界函數(shù)”的序號(hào)是①④（寫(xiě)出所有符合條件的全部序號(hào)）

Answer 1

分析 由題意，將①帶入定義即可，②特殊值f（0）=1不能使之為“次有界函數(shù)”，③用反證法，假設(shè)其是“次有界函數(shù)”，證明假設(shè)不成立；④由已知條件構(gòu)造出|f（x）|≤M|x|的形式，找到M即可．

解答 解：由題意：
因?yàn)棰僦�，f（x）=x，所以|f（x）|≤M|x|即|x|≤M|x|，所以對(duì)于任意M≥1都能使其恒成立，所以①是“次有界函數(shù)”；
因?yàn)棰谥校��?dāng)x=0時(shí)，f（0）=1，所以不存在任意M＞0使|f（0）|≤M|0|，所以②不是“次有界函數(shù)”；
因?yàn)棰壑�，若f（x）是“次有界函數(shù)”，則存在常數(shù)M＞0，使|x²|≤M|x|，即|x|≤M對(duì)一切x∈R成立，顯然不存在M使其成立，所以假設(shè)不成立，故f（x）不是“次有界函數(shù)”；
④因?yàn)閒（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0．又因?yàn)閨f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0，則
|f（x）|≤2|x|，所以f（x）是“次有界函數(shù)”；
故答案為①④

點(diǎn)評(píng) 本題屬于創(chuàng)新型題型，關(guān)鍵在于對(duì)新概念的理解以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用．本題難點(diǎn)是由已學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換為與定義相關(guān)的形式，需要學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活應(yīng)用．