Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|＞$\sqrt{3}$，求x的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，若對(duì)任意x₁，x₂∈[$\frac{π}{2}$，π]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜t，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$ 的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，然后解三角不等式求x的范圍；
（2）把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$和|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|代入入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，整理后求出函數(shù)在[$\frac{π}{2}$，π]上的最值，求出兩最值差的絕對(duì)值后可得t的范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos$\frac{3}{2}x$，sin$\frac{3}{2}x$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）=cos$\frac{3}{2}x$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}x$sin$\frac{x}{2}$=cos2x，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|，
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=-2cosx，
由-2cosx＞$\sqrt{3}$⇒cosx＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴$\frac{5π}{6}$＜x≤π；
（2）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
∴f（x）=cos2x-2cosx=2$（cosx-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，
∵-1≤cosx≤0，
∴-1≤f（x）≤3⇒|f（x₁）-f（x₂）|≤|3-（-1）|=4，
∴t＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量的模，問題（1）訓(xùn)練了三角不等式的解法，（2）考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，把對(duì)任意x₁，x₂∈[$\frac{π}{2}$，π]恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜t成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，此題是中檔題．