Question

11．若點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=x²+3lnx的圖象上，點(diǎn)Q（c，d）在函數(shù)y=x+2的圖象上，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出與直線(xiàn)y=x+2平行且與曲線(xiàn)y=-x²+3lnx相切的直線(xiàn)y=x+m．再求出此兩條平行線(xiàn)之間的距離（的平方）即可得出．

解答 解：設(shè)直線(xiàn)y=x+m與曲線(xiàn)y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函數(shù)y=-x²+3lnx，∴y′=-2x+$\frac{3}{x}$，
令-2x₀+$\frac{3}{{x}_{0}}$=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切點(diǎn)P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得與直線(xiàn)y=x+2平行且與曲線(xiàn)y=-x²+3lnx相切的直線(xiàn)y=x-2．
而兩條平行線(xiàn)y=x+2與y=x-2的距離d=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值=（2$\sqrt{2}$）²=8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線(xiàn)的方程、兩條平行線(xiàn)之間的距離、最小值的轉(zhuǎn)化問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．