Question

20．已知MN為正方體內切球的任意一條直徑，點A為正方體表面一動點，若正方體的棱長為4，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值為11．

Answer 1

分析 利用向量數量積的概念及性質，可知當點A，M，N三點共線時，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取得最大值，繼而可求得該最大值．

解答 解：設點P為此正方體的內切球的球心，半徑R=2．
∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤|$\overrightarrow{AM}$||$\overrightarrow{AN}$|，∴當點A，M，N三點共線時，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取得最大值．
此時，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤（|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{PM}$|）•（|$\overrightarrow{AP}$|-|$\overrightarrow{PN}$|），而|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|=1，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≤|PA|²-1，當且僅當點P為正方體的一個頂點時，上式取得最大值，又正方體的對角線長為4$\sqrt{3}$，
∴（$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$）_max=（2$\sqrt{3}$）²-1=11，
故答案為：11．

點評 本題考查空間線面、面面之間的位置關系，考查推理運算能力，考查平面向量的數量積的概念及性質的應用，屬于中檔題．