若n∈N*，求證
1×4
+
2×5
+…+
n(n+3)
＜
1
2
(n+2)2．
考點：不等式的證明
專題：推理和證明
分析：通過不等式的左側(cè)的最后一項，利用基本不等式放大，然后求和即可．
解答： 證明：由題意可知
n(n+3)
＜
n+n+3
2
=n+
3
2
，
∴
1×4
+
2×5
+…+
n(n+3)
＜(1+
3
2
)+(2+
3
2
)+(3+
3
2
)+…+(n+
3
2
)
=
3
2
n+(1+2+3+…+n)
=
3
2
n+
n(n+1)
2

=
1
2
n2+2n＜
1
2
n2+2n+2
=
1
2
(n+2)2．
∴n∈N*，
1×4
+
2×5
+…+
n(n+3)
＜
1
2
(n+2)2．恒成立．
點評：本題考查不等式的證明，放縮法的應(yīng)用，與自然數(shù)有關(guān)的命題也可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明．考查邏輯推理能力以及計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算：(-3)0-0
1
3
+(
1
2
)-2+16-  
1
4
-8
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，CC1=
2
，E是棱BB1的中點．
（Ⅰ）求證：CE⊥AC1；
（Ⅱ）求二面角A-C1E-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=x|x-1|-blnx+m，（b，m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)b=3時，判斷函數(shù)f（x）在[l，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）+blnx，當(dāng)m＞1時，求函數(shù)y=h（x）在[0，m]上的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)b=1時，若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，g（x）=ax+b（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R）．
（1）求函數(shù) y=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時，若函數(shù) y=
1
f(x)+g(x)
在（-1，+∞）上有意義，求b的取值范圍；
（3）如果0≤a≤
1
2
，b=1，求證：當(dāng)x≥0時，
1
f(x)
+
x
g(x)
≥1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某市居民自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水量不超過25噸時，按每噸3.2元收費；當(dāng)每戶每月用水量超過25噸時，其中25噸按每噸為3.2元收費，超過25噸的部分按每噸4.80元收費．設(shè)每戶每月用水量為x噸，應(yīng)交水費y元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（2）某用戶1月份用水量為30噸，則1月份應(yīng)交水費多少元？
（3）若甲、乙兩用戶1月用水量之比為5：3，共交水費228.8元，分別求出甲、乙兩用戶該月的用水量和水費．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+x+a在區(qū)間（0，1）上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x3+2x2+5x+t）e-x，t∈R，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)t=5時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實數(shù)t∈[0，1]，使對任意的x∈[-4，m]，不等式 f（x）≤x恒成立，
求整數(shù)m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x，y滿足
2x-y-1≥0
x+y-5≥0
y≥1
，則
3x+y-2
x+1
的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案