Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，CC₁=

2

，E是棱BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：CE⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，分別以AB，BC，BB₁三條直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知的邊的長度即可求出

CE

，

AC1

的坐標(biāo)，求數(shù)量積

CE

•

AC1

=0即可；
（Ⅱ）分別求平面AEC₁，平面C₁EC的法向量，求兩法向量的夾角的余弦值即可．容易判斷出

BA

=(-1，0，0)是平面C₁EC的法向量，設(shè)平面AEC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，根據(jù)

n

與向量

AC1

，

AE

垂直，而向量

AC1

，

AE

的坐標(biāo)根據(jù)已知的邊的長度可求出，所以可求出

n

的坐標(biāo)，所以根據(jù)向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式即可求出這兩法向量的夾角的余弦值，即求出了二面角E-AF-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知條件知，AB，BC，BB₁三條直線兩兩垂直，所以可分別以這三條直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
∴B（0，0，0），A（-1，0，0），E（0，0，

2

2

），C1(0，1，

2

)，C（0，1，0）；
∴

CE

=(0，-1，

2

2

)，

AC1

=(1，1，

2

)；
∴

CE

•

AC1

=0，∴

CE

⊥

AC1

；
∴CE⊥AC₁；
（Ⅱ）BA⊥平面C₁EC，∴

BA

=(-1，0，0)即為平面C₁EC的一個法向量；

AC1

=(1，1，

2

)，

AE

=(1，0，

2

2

)，設(shè)平面AEC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AC1 =0 n • AE =0

；
∴

x+y+ 2 z=0 x+ 2 2 z=0

，令z=1，則

n

=(-

2

2

，-

2

2

，1)；
∴cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA || n |

=

2 2

2

=

1

2

，
∴二面角A-C₁E-C的余弦值為

1

2

．

點評：考查利用空間向量證明異面直線垂直，求二面角的問題，兩向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，以及平面法向量的概念，向量夾角的余弦公式．