Question

8．曲線C的方程為 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），曲線經(jīng)過點(diǎn)$（\frac{3}{2}，1）$，曲線的離心率為$\frac{1}{2}$．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是直線y=4上任意一點(diǎn)但不在y軸上，A₁，A₂是橢圓的上下兩個(gè)頂點(diǎn)，直線PA₁，PA₂交橢圓分別為C和D，那么直線CD是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得$a=2c，b=\sqrt{3}c$，將將點(diǎn)$（\frac{3}{2}，1）$代入曲線方程，即可求得a和b的值，求得曲線方程；
（Ⅱ）由題意可知，求得A₁和A₂坐標(biāo)，求得直線PA₁和PA₂直線方程，代入曲線C的方程，求得C和D點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線CD的斜率和方程，整理即可求得 $y=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}x+1$，即可求得直線CD經(jīng)過定點(diǎn) （0，1）．

解答 解：（I）由橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
將點(diǎn)$（\frac{3}{2}，1）$代入曲線方程，整理得：$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{{3{c^2}}}=1$，
解得：c=1，則a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴曲線方程為$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$…（4分）
（II）設(shè)P（m，4），而A₁（0，-2），A₂（0，2）${K_{{A_1}P}}=\frac{6}{m}$，直線PA₁為 $y=\frac{6}{m}x-2$；
${K_{{A_2}P}}=\frac{2}{m}$，直線PA₂為 $y=\frac{2}{m}x+2$，
設(shè)$\frac{2}{m}=k$，則直線PA₁為y=3kx-2，直線PA₂為y=kx+2
由$\left\{\begin{array}{l}y=3kx-2\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1\end{array}\right.$得${x_c}=\frac{36k}{{27{k^2}+4}}$，${y_c}=\frac{{54{k^2}-8}}{{27{k^2}+4}}$
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1\end{array}\right.$得${x_D}=\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}$，${y_D}=\frac{{8-6{k^2}}}{{3{k^2}+4}}$
故 ${K_{CD}}=\frac{{{y_C}-{y_D}}}{{{x_C}-{x_D}}}=\frac{{81{k^4}-16}}{{3k（36{k^2}+16）}}=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}$…（8分）
∴直線CD方程為：y-$\frac{{8-6{k^2}}}{{3{k^2}+4}}$=$\frac{{9{k^2}-4}}{12k}$（x-$\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}）$
整理得 $y=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}x+1$，
故直線CD經(jīng)過定點(diǎn) （0，1）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．