Question

3．某單位需制作一種長方體包裝盒，有兩個要求：①容積為$\frac{512}{3}c{m^3}$．②包裝盒底面長方形的長是寬的2倍．請你設(shè)計包裝盒的長、寬、高，使包裝盒用料最省，并求出最小用料面積．

Answer 1

分析 由題意：包裝盒用料最省，即長方體的表面積最�。�設(shè)寬為x（x＞0）那么長為2x，則高h=$\frac{512}{3×2{x}^{2}}=\frac{256}{3{x}^{2}}$，
表面積S=2×寬×長+2×高×長+2×寬×高，可得出表達式．利用基本不等式的性質(zhì)求解最小值即可．

解答 解：由題意：設(shè)寬為x（x＞0），那么長為2x，則高h=$\frac{512}{3×2{x}^{2}}=\frac{256}{3{x}^{2}}$；
∴表面積S=2×寬×長+2×高×長+2×寬×高=4x²+$\frac{1024}{3x}$+$\frac{512}{3x}$=4x²+$\frac{1536}{3x}$
又∵4x²+$\frac{768}{3x}+\frac{768}{3x}$=$4{x}^{2}+\frac{256}{x}+\frac{256}{x}$≥3$\root{3}{4{x}^{2}•\frac{256}{x}•\frac{256}{x}}$=192．
當且僅當x=4取等號．
所以：當長為8，寬為4，高為$\frac{16}{3}$時，包裝盒用料最省，最小用料為192cm²．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)在實際問題中的運用．屬于中檔題．