Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，$f（x）={（\frac{1}{2}）^{1-x}}$，則：①2是函數(shù)f（x）的周期；②函數(shù)f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；④當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，$f（x）={（\frac{1}{2}）^{x-3}}$．其中所有正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，即可判定①的真假，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，以及在（0，1）上的單調(diào)性，可判定②的真假，根據(jù)單調(diào)性和周期性可求出函數(shù)的最值，可判定③的真假，最后求出函數(shù)在x∈[3，4]時(shí)的解析式即可判定④的真假．

解答 解：∵對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x）則f（x）的周期為2，故①正確；
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，$f（x）={（\frac{1}{2}）^{1-x}}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，故②正確；
∴函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1，最小值為f（0）=$\frac{1}{2}$，故③不正確；
設(shè)x∈[3，4]，則4-x∈[0，1]，f（4-x）=$（\frac{1}{2}）^{x-3}$=f（-x）=f（x），故④正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性以及函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，是中檔題．