Question

15．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是10：1
（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和
（2）求展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)
（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 由條件求得n=8，令x=1，可得展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和．再利用通項(xiàng)公式求得展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)，以及展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：∵${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是10：1，即 $\frac{{C}_{n}^{4}{•（-2）}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•（-2）}^{2}}$=10，
求得n=8，
∴${（\sqrt{x}-\frac{2}{{x}^{2}}）}^{n}$=${（\sqrt{x}-\frac{2}{{x}^{2}}）}^{8}$．
（1）令x=1，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1．
（2）求得它的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，令4-$\frac{5r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=1，故展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)為T₂=${C}_{8}^{1}$•（-2）•${x^{\frac{3}{2}}}$=-16${x^{\frac{3}{2}}}$．
（3）根據(jù)它的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r•${x}^{4-\frac{5r}{2}}$，可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅=${C}_{8}^{4}$•（-2）⁴•x^-6=1120x^-6．
檢驗(yàn)可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₇=${C}_{8}^{6}$•（-2）⁶•x^-11．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．