Question

已知函數(shù)f（x）=x²-5x+3-

k(x-1)

ex

，g（x）=-x+xlnx（k∈R），若對于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則k的取值范圍（　　）

• A、(-∞，

  1

  e3

  ]
• B、（-∞，-e³]
• C、（-∞，-e]
• D、(-∞，

  1

  e

  ]

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若對于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，即為：f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1上恒成立，可先求出g（x）的最小值，再由-1≤x2-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1上恒成立．即為k≤（x-4）e^x在x＞1上恒成立，令h（x）=（x-4）e^x運用導(dǎo)數(shù)求極小值，也是最小值，只要k不大于最小值，即可求得k的取值范圍．

解答： 解：對于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
即為：f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1上恒成立，對于g（x）=-x+xlnx
則：g′（x）=-1+lnx-1=lnx
令g′（x）＞0，則x＞1，g′（x）＜0，則0＜x＜1
即在x=1為極小值且g（-1）=-1
則有-1≤x2-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1上恒成立，
即

k(x-1)

ex

≤x2-5x+4在x＞1上恒成立，
即有k≤（x-4）e^x
令h（x）=（x-4）e^x
則：h′（x）=（x-3）e^x
當(dāng)x＞3時，h′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時，h′（x）＜0
在x=3時，h（x）取極小值，即為最小值．h（3）=-e³
則有：k≤-e³
故選：B

點評：本題考查的知識要點：恒成立問題，函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及相關(guān)的運算問題．