Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的周長為2

2

+2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F₂作直線l 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)

F2A

=λ

F2B

，若-2≤λ＜-1，求

F1A

•

F1B

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的周長為2

2

+2，可求a，c的值，從而可得橢圓M的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F₂作直線l，方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

F2A

=λ

F2B

，可得λ+

1

λ

+2=-

4

1+2k2

，從而可得k²≥

7

2

，利用向量的數(shù)量積公式，即可求

F1A

•

F1B

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的周長為2

2

+2，
∴

c

a

=

2

2

，2a+2c=2

2

+2，
∴a=

2

，c=1，
∴b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F₂作直線l，方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∵

F2A

=λ

F2B

，
∴y₁=λy₂，
∵y₁+y₂=-

2k

1+2k2

，y₁y₂=-

k2

1+2k2

，
∴λ+

1

λ

+2=-

4

1+2k2

令y=λ+

1

λ

（-2≤λ＜-1），則y′=1-

1

λ2

，
∴y=λ+

1

λ

在[-2，-1）上單調(diào)遞增，
∴-

5

2

≤λ+

1

λ

＜-2，
∴-

1

2

λ+

1

λ

+2＜0，
∴-

1

2

≤-

4

1+2k2

＜0，
解得k²≥

7

2

，

F1A

•

F1B

=（x₁，+1，y₁），B（x₂，+1，y₂）=x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=

7

2

-

9

2(1+2k2)

，
∵k²≥

7

2

，
∴0＜

9

2(1+2k2)

≤

9

16

，
∴

47

16

≤

7

2

-

9

2(1+2k2)

＜

7

2

，
∴

F1A

•

F1B

的取值范圍為[

47

16

，

7

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，綜合性強(qiáng)．