Question

4．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2．，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的$\sqrt{2}$倍．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（2，0），過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程，由a=$\sqrt{2}$b，a²=b²+1，即可求得a和b的值，求得橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，及函數(shù)的最值即可求得$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$的最小值，即可求得λ的最小值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由2c=2，則c=1，
由2a=$\sqrt{2}$×2b，則a=$\sqrt{2}$b，①
由a²=b²+c²，即a²=b²+1，②
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂，且y₁²=$\frac{1}{2}$，
此時(shí)，$\overrightarrow{PA}$=（-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（-3，y₂）=（-3，-y₁），
∴$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$=（-3）²-y₁²=$\frac{17}{2}$，
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k²（x₁+1）（x₂+1），
=（1+k²）x₁x₂+（k²-2）（x₁+x₂）+4+k²，
=（1+k²）•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（k²-2）•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4+k²
=$\frac{17{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（2{k}^{2}+1）}$＜$\frac{17}{2}$，
要使不等式$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$≤λ（λ∈R）恒成立，
只需λ≥（$\overrightarrow{PA}$?$\overrightarrow{PB}$）_max=$\frac{17}{2}$，
∴λ的最小值為$\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查實(shí)數(shù)值的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．