Question

9．設(shè)直線l₀過拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)且與拋物線分別相交于A₀，B₀兩點(diǎn)，已知|A₀B₀|=6，直線l₀的傾斜角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)N是直線l：y=x-4上的任一點(diǎn)，過N作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，試證明直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求得直線l₀的斜率及方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）由題意可知l₁和l₁的方程，由l₁l₂都過N（x₀，y₀）點(diǎn)，代入直線的方程，即可求得直線AB的方程為：x₀x=2（y₀+y），又直線l：y=x-4過N點(diǎn)，則y₀=x₀-4，代入整理可得x₀（x-2）-2（y-4）=0即可求得直線恒過定點(diǎn)．

解答 解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，$\frac{p}{2}$），
由直線l₀的傾斜角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則l₀的斜率k=tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)直線l的方程y-$\frac{p}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即x=$\sqrt{2}$（y-$\frac{p}{2}$），設(shè)A₀（x₁，y₁），B₀（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}（y-\frac{p}{2}）}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$．整理得：2y²-4py+$\frac{{p}^{2}}{2}$=0，
則y₁+y₂=2p，
由拋物線的弦長(zhǎng)公式可知：|A₀B₀|=y₁+y₂+p=3p=6，
則p=2
拋物線C的方程為：x²=4y；
（2）設(shè)N（x₀，y₀）是直線l：y=x-4上任意一點(diǎn)，過N作拋物線的切線分別為l₁，l₂，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則l₁的方程為：xx₁=2（y+y₁）  ①
l₂的方程為：xx₂=2（y+y₂）    ②
因?yàn)閘₁l₂都過N（x₀，y₀）點(diǎn)，所以有x₀x₁=2（y₀+y₁），③
x₀x₂=2（y₀+y₂），④
③和④表示A，B兩點(diǎn)均在直線x₀x=2（y₀+y），
即直線AB的方程為：x₀x=2（y₀+y），又y₀=x₀-4，
所以：x₀x=2（x₀-4+y），
所以直線AB的方程可化為：x₀（x-2）+（-2y+8）=0，x₀（x-2）-2（y-4）=0
即直線AB恒過（2，4）點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，拋物線切線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．