Question

4．若曲線y=sinx，x∈（-π，π）在點(diǎn)P處的切線平行于曲線y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$在點(diǎn)Q處的切線，則PQ的斜率為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用余弦函數(shù)的值域及不等式求最值，得到兩個(gè)導(dǎo)函數(shù)的取值范圍，再由函數(shù)y=sinx（x∈（-π，π））圖象在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$在點(diǎn)Q處的切線平行，得到P，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入原函數(shù)求得P，Q的縱坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得答案．

解答 解：設(shè)P（a，b），Q（m，n），
由y=sinx，得y′=cosx，
∵x∈（-π，π），
∴-1＜y′≤1．
由y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$，得y′=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）≥1．
∵函數(shù)y=sinx（x∈（-π，π））圖象在點(diǎn)P處的切線
與函數(shù)y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$在點(diǎn)Q處的切線平行，
∴cosa=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{\sqrt{m}}$）=1．
∵a∈（-π，π），m＞0，
∴a=0，m=1，
∴b=sin0=0，n=$\sqrt{m}$（$\frac{m}{3}$+1）=$\frac{4}{3}$．
∴直線PQ的斜率為：$\frac{\frac{4}{3}-0}{1-0}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．