Question

若f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0  f（3）=0  求：
①b與c值；
②用定義證明f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：①將f（1），f（3）求出值，代入已知等式，列出方程組，求出b，c值．
②在（2，+∞）上設(shè)出任意兩自變量，求出它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，作差，將差變形，判斷出差的符號(hào)，據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得證．

解答：解：（1）

f(1)=1+b+c=0 f(3)=9+3b+c=0

，
解之

b=-4 c=3

（6分）
（2）由①知f_（x）=x²-4x+3，任取x₁，x₂∈（2，+∞），但x₁＜x₂
f_（x1）-f_（x2）=x₁²-4x₁-x₂²+4x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-4]
∵x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0
∵x₁＞2x₂＞2
∴（x₁+x₂）-4＞0
∴f_（x1）-f_（x2）＜0則f_（x1）＜f_（x2）
∴f_（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)（12分）

點(diǎn)評(píng)：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要在區(qū)間上設(shè)出兩個(gè)自變量，再判斷函數(shù)值差的符號(hào)．關(guān)鍵要變形．