Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若在定義域上有兩個極值點(diǎn)、，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）[，＋∞)（2）

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052808364496064190/SYS201305280837450856579221_DA.files/image002.png">

所以．             

法一：若在(0，＋∞)單調(diào)遞增，則在(0，＋∞)上恒成立，

，

由于開口向上，所以上式不恒成立，矛盾。

若在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則在(0，＋∞)上恒成立，

由于開口向上，對稱軸為，

故只須解得。

綜上，的取值范圍是[，＋∞)．

法二：令．當(dāng)時，，在 (0，＋∞)單調(diào)遞減．

當(dāng)時，，方程有兩個不相等的正根，

不妨設(shè)，

則當(dāng)時，，

當(dāng)時，，這時不是單調(diào)函數(shù)．

綜上，的取值范圍是[，＋∞)．                            

（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)∈(0，)時，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

且＝，＝．

令，

則當(dāng)時，＝－＝＜0，在(0，)單調(diào)遞減，

所以即．         

考點(diǎn)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的有力工具，研究函數(shù)的性質(zhì)時要注意函數(shù)的定義域.