Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，斜率為2的動直線與橢圓交于不同的兩點A、B，求線段AB中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記線段AB的中點為（x，y）．代入橢圓方程，由作差，結(jié)合中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，化簡可得軌跡方程，注意中點在橢圓內(nèi)，求得x的范圍即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記線段AB的中點為（x，y）．
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}$+y₂²=1，
兩式作差得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{3}$+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
因直線AB斜率為2，代入y₁-y₂=2（x₁-x₂）得，
$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0，
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，即有x+6y=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+6y=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，又線段AB的中點在橢圓內(nèi)部，
故所求的軌跡方程為：x+6y=0（-$\frac{6\sqrt{13}}{13}$＜x＜$\frac{6\sqrt{13}}{13}$）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運用，注意運用點差法和中點坐標(biāo)公式以及直線的斜率公式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．