Question

5．過點M（-2，0）的直線l與拋物線y²=4x交于不同的兩點A和B
（1）求直線l斜率的范圍
（2）是否存在這樣的直線l，使$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$，若存在，求出l的方程；反之，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入y²=4x得k²x²+（4k²-4）x+4k²=0，利用△＞0，求直線l斜率的范圍
（2）由題意，A為MB的中點，利用韋達(dá)定理，即可求出l的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入y²=4x可得k²x²+（4k²-4）x+4k²=0，
∴△=（4k²-4）²-16k⁴＞0，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由題意，A為MB的中點，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則2x₁=-2+x₂，2y₁=y₂，
∵x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$-4，x₁x₂=4，
∴3x₁+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$-4，x₁（2x₁+2）=4，
∴k=±$\frac{2}{3}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{2}{3}$（x+2）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．