【題目】已知函數(shù)，其圖象與軸交于不同兩點(diǎn)，，且.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）先變量分離得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)證明，再證明，不等式即得證.

（1）由，得.

令，則.

由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；

由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；

于是在處取得極小值，且.

又時(shí)，，

由于要使的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以.

（2）由（1）知.

一方面，令，，

則，

又令，，

則.

易知在上單調(diào)遞增，所以，

則在上單調(diào)遞減，所以，于是，

所以在上單調(diào)遞增.則，即.

所以.

又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.

另一方面，令，則，

易知在時(shí)，取得最小值，所以，即.

，∴.

∵，∴方程有唯一正根，則.

又，在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得在區(qū)間有唯一零點(diǎn).

所以，

又，②

①代入②，得，解得.

于是.

令，，則

又令，則.

注意到為減函數(shù)，所以，

于是，從而為增函數(shù)，所以，

故為減函數(shù)，則，即.

所以，

又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.

綜上，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，已知曲線，將曲線上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)軸伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到曲線，又已知直線（是參數(shù)），且直線與曲線交于兩點(diǎn).

（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；

（II）設(shè)定點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個(gè)溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團(tuán)組織“這個(gè)冬天不再冷”冬衣募捐活動(dòng)，共有50名志愿者參與.志愿者的工作內(nèi)容有兩項(xiàng)：①到各班做宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻(xiàn)冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物.每位志愿者根據(jù)自身實(shí)際情況，只參與其中的某一項(xiàng)工作.相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）如果用分層抽樣的方法從參與兩項(xiàng)工作的志愿者中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級(jí)宣傳的志愿者”的概率是多少？

（2）若參與班級(jí)宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用表示所選志愿者中的女生人數(shù)，寫出隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，底面是等腰梯形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為邊作正方形，且平面平面.

（1）證明：平面平面.

（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 面， 為的中點(diǎn)。

（1）證明： 平面;

（2）設(shè)， ，三棱錐的體積 ，求A到平面PBC的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大提出對(duì)農(nóng)村要堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧，至2020年底全面脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作.經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧閑農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元.扶貧工作組一方面請(qǐng)有關(guān)專家對(duì)果樹進(jìn)行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù).從2018年初開始，該村抽出戶（）從事水果包裝、銷售.經(jīng)測(cè)算，剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高，而從事包裝銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為萬元（參考數(shù)據(jù)：）.

（1）至2020年底，為使從事水果種植農(nóng)戶能實(shí)現(xiàn)脫貧（每戶年均純收入不低于1萬5千元），則應(yīng)至少抽出多少戶從事包裝、銷售工作？

（2）至2018年底，該村每戶年均純收人能否達(dá)到1.355萬元？若能，請(qǐng)求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)與有相同極值點(diǎn)．

①求實(shí)數(shù)的值；

②若對(duì)于（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），不等式恒成立，

求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，設(shè).

（Ⅰ）若在處取得極值，且，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.

①求的取值范圍；②求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，.數(shù)列滿足.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）證明：是等比數(shù)列；

（3）是否存在首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，使得對(duì)任意，都有成立？若存在，求出q的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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