Question

設(shè){a_n}，{b_n}，{c_n}是三個數(shù)列，{a_n}是等差數(shù)列，a₂=4，a₄=8，{c_n}是第三項為8，公比為4的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}及{c_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：log₂c_n=

a1b1+a2b2+…anbn

a1+a2+…+an

，求證：點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一條直線上，并求此直線的斜率；
（3）記數(shù)列{a_n}、{b_n}的前m項和分別為A_m和B_m，對任意自然數(shù)n，是否總存在與n相關(guān)的自然數(shù)m，使得a_nB_m=b_nA_m？若存在，求出m與n的關(guān)系，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差由已知列式求得首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案，直接由已知求等比數(shù)列的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}及{c_n}的通項公式代入log₂c_n=

a1b1+a2b2+…anbn

a1+a2+…+an

，整理后利用作差法求得數(shù)列{b_n}的通項公式，從而說明點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一條直線上，并求得此直線的斜率；
（3）分別求出等差數(shù)列{a_n}、{b_n}的前m項和分別為A_m和B_m，代入a_nB_m=b_nA_m求得n不是整數(shù)，從而說明不存在．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由a₂=4，a₄=8，得

a1+d=4 a1+3d=8

，解得

a1=2 d=2

．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
設(shè){c_n}的公比為q，由c₃=8，q=4，得cn=8•4n-3=22n-3；
（2）由log₂c_n=

a1b1+a2b2+…anbn

a1+a2+…+an

，得
log222n-3=

2b1+4b2+6b3+…+2nbn

n2+n

，
即2b₁+4b₂+6b₃+…+2nb_n=n（n+1）（2n-3）．
則2b₁+4b₂+6b₃+…+2（n-1）b_n-1=（n-1）n（2n-5）（n≥2）．
兩式作差得：2nb_n=n[（n+1）（2n-3）-（n-1）（2n-5）]，
則b_n=3n-4（n≥2）．
驗證n=1時成立，
∴b_n=3n-4．
∴點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一條直線b_n=3n-4上，且此直線的斜率為3；
（3）由（2）知，數(shù)列{b_n}是以-1為首項，以3為公差的等差數(shù)列．
則Bm=-m+

3m(m-1)

2

=

3m2-5m

2

．
又Am=2m+

2m(m-1)

2

=m2+m．
由a_nB_m=b_nA_m，得2n•

3m2-5m

2

=（3n-4）（m²+m）．
即n=

4

5

．
∴對任意自然數(shù)n，不存在與n相關(guān)的自然數(shù)m，使得a_nB_m=b_nA_m．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓練了作差法求數(shù)列的通項公式，訓練了存在性問題的判斷方法，是壓軸題．