Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），f（2+x）=f（2-x）且x∈[2，3]時，f（x）=（x-2）²，求f（x）在[4，6]上的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過已知條件知道，f（x）的周期為2，f（x）圖象關(guān)于x=2對稱，x∈[2，3]上的圖象關(guān)于x=2對稱，所以在區(qū)間[1，2]上的解析式也是f（x）=（x-2）²，即f（x）在[1，3]上的解析式為：f（x）=f（x-2）²．經(jīng)過一個周期，得到f（x）在[4，5]上的圖象，解析式為f（x）=（x-4）²，再經(jīng)過一個周期得到f（x）在（5，6]上的圖象，解析式為f（x）=（x-6）²，合在一起便得到f（x）在[4，6]上的解析式．

解答： 解：f（2+x）=f（2-x）得出f（x）圖象關(guān)于x=2對稱；
x∈[2，3]上的f（x）=（x-2）²關(guān)于x=2對稱，∴在[1，2]上的函數(shù)f（x）解析式也是f（x）=（x-2）²；
即在[1，3]上函數(shù)f（x）=（x-2）²；
由f（x+2）=f（x）知道f（x）的周期為2，而[1，3]正好是f（x）的一個周期，向右平移一個周期，再平移一個周期的圖象如下：

由圖可看出[4，5]上的解析式f（x）=（x-2-2）²=（x-4）²，（5，6]上的解析式為，f（x）=（x-2-2-2）²=（x-6）²；
即f（x）在[4，6]上的解析式為：f(x)=

(x-4)2 x∈[4，5] (x-6)2 x∈(5，6]

．

點評：考查函數(shù)周期的概念，圖象關(guān)于某直線對稱的表示形式，二次函數(shù)圖象及其對稱性．