【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲，若點(diǎn)在矩形區(qū)城內(nèi)(包含邊界)，則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗，已知米，為中點(diǎn)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線遠(yuǎn)動(dòng)方式行進(jìn).

（1）如圖建系，求的軌跡方程；

（2）記與的夾角為，，如何設(shè)計(jì)的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功？

（3）若與的夾角為，足夠長，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度，才能挑戰(zhàn)成功？

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先設(shè)（），由題意得到，，，列出等量關(guān)系，化簡整理，即可得出結(jié)果；

（2）由（1）的結(jié)果，得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區(qū)域內(nèi)的部分，進(jìn)而可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)題意得到，，根據(jù)正弦定理求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.

（1）設(shè)（），由題意可得：，，

又機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線遠(yuǎn)動(dòng)方式行進(jìn)，

所以，

即，整理得：（）；

（2）由（1）知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區(qū)域內(nèi)的部分，

所以當(dāng)時(shí)，就能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功；

（3）由題意，在中，，，

由正弦定理得：，

所以，因此，

即應(yīng)在矩形區(qū)域內(nèi)，按照與方向夾角為的方向釋放機(jī)器人乙，才能挑戰(zhàn)成功.

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【題目】為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比.藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

（1）求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米空氣的含藥量降到0．25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到進(jìn)教室？

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【題目】求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)：對任意正整數(shù)，.

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【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱為三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．

（1）已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若，是數(shù)列的保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2019，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；

（3）求證：函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”的充要條件是，．

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【題目】如圖，已知直線和直線，射線的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)、分別是直線、上的動(dòng)點(diǎn)，直線和之間的距離為2，于點(diǎn)，于點(diǎn)；

（1）若，求的值；

（2）若，求的最大值；

（3）若，，求的最小值.

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【題目】現(xiàn)對一塊邊長8米的正方形場地ABCD進(jìn)行改造，點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CD或AD上（異于A，C），設(shè)（米），的面積記為（平方米），其余部分面積記為（平方米）.

（1）當(dāng)（米）時(shí)，求的值；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）該場地中部分改造費(fèi)用為（萬元），其余部分改造費(fèi)用為（萬元），記總的改造費(fèi)用為W（萬元），求W取最小值時(shí)x的值.

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【題目】如圖，邊長為4的正方形中，半徑為1的動(dòng)圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動(dòng)（包含端點(diǎn)A,C,D），P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是_____________.

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【題目】如圖：在三棱錐中，，是直角三角形，，

，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的大��；

（3）求二面角的正切值.

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