Question

【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱為三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．

（1）已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若，是數(shù)列的保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2019，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；

（3）求證：函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”的充要條件是，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）先由條件得是三角形數(shù)列，再利用，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，得到，解得的取值范圍；

（2）先利用條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再證明其滿足“三角形”數(shù)列的定義即可；

（3）根據(jù)函數(shù)，，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”，可以得到①1，，是三角形數(shù)列，所以，即，②數(shù)列中的各項(xiàng)必須在定義域內(nèi)，即，③，，是三角形數(shù)列；結(jié)論為在利用，是單調(diào)遞減函數(shù)，就可求出對應(yīng)的范圍，即可證明．

（1）解：顯然，對任意正整數(shù)都成立，即是三角形數(shù)列，

因?yàn)?/span>，顯然有，

由得，解得，

所以當(dāng)時(shí)，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”；

（2）證：由，

當(dāng)時(shí)，，∴，∴，

當(dāng)時(shí)，即，解得，∴，

∴數(shù)列是以2019為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，

∴，

顯然，因?yàn)?/span>，

所以是“三角形”數(shù)列；

（3）證：函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”，必須滿足三個(gè)條件：

①1，，是三角形數(shù)列，所以，即；

②數(shù)列中的各項(xiàng)必須在定義域內(nèi)，即；

③，，是三角形數(shù)列，

由于，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，

所以函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”的充要條件是，．